Sigma-Delta modulacija

A/D pretvorba

Zdenka Šafaržik, Vedran Višnjić
Zagreb, 1999.

(Ova stranica najbolje izgleda u rezoluciji 800x625, WIN-1250 i ako koristite NETSCAPE!)

1. Uvod

Signale se općenito može podijeliti u dvije grupe:

analogne signale definirane u kontinuiranom vremenu, i
diskretne signale definirane u diskretnim vremenskim intervalima.

Fizikalni procesi su u velikoj većini slučajeva analogni procesi, a potreba za diskretnim signalima ukazala se kad su postignuti uvjeti za računalnu obradu fizikalnih procesa/sustava. Dakle, da bi se analogni signal mogao obraditi računalom (mikroprocesorom, DSP-om...) potrebno je izvršiti pretvorbu analognog signala u digitalni (A/D konverzija).
Sustavi za obradu diskretnog signala su redovito sustavi koji barataju brojevima s konačnom točnošću (konačan broj decimala), pa je nakon otipkavanja potrebno provesti kvantizaciju (zaokruživanje) otipkanog signala. Blok shemu procesa A/D konverzije prikazuje sljedeća slika:

Matematički, proces otipkavanja se može zapisati kao:

Iz posljednje jednadžbe je vidljivo da će u spektru otipkanog signala postojati modulirani ulazni signal kojem signal nosioc iznosi cjelobrojne višekratnike frekvencije otipkavanja.

Proces kvantizacije je proces zaokruživanja otipkanog signala. Ovisno o broju bita s kojim raspolaže sustav za obradu diskretnog signala, signal se može kvantizirati na određen broj razina. Sljedeća slika prikazuje ideju kvantizacije:

[quant.gif]

Na slici je prikazan primjer nivoa kvantizacije za 4 bita, te za ulaznu dinamiku 2 ( abs(x[n])< 1 ).

Veličina q se naziva korakom kvantizacije i može se izračunati po sljedećoj formuli:

gdje je B broj bitova, odnosno maksimalna veličina riječi sustava za obradu diskretnog signala.

Očito je da postupak kvantizacije uzrokuje pogrešku. Ta pogreška se naziva šum kvantizacije ili greška kvantizacije. Ukoliko je signal koji se kvantizira znatno veći od koraka kvantizacije q šum kvantizacije se može smatrati slučajnom varijablom jednolike razdiobe. Budući da se signal zaokružuje na najbliži broj (round), slučajna varijabla q se nalazi u intervalu (-q/2,q/2). Ukoliko se izračuna srednja vrijednost kvadrata pogreške kvantizacije (očekivanje kvadrata pogreške,varijanca) dobije se zapravo snaga šuma kvantizacije:

Budući da je snaga šuma kvantizacije jednoliko raspoređena po spektru korisnog signala, može se pisati:

Iz ove formule slijedi bitan zaključak: snaga šuma kvantizacije se smanjuje povećanjem frekvencije otipkavanja.

Spektre signala prikazuje sljedeća slika:

Iz slike je vidljivo da frekvencija otipkavanja signala ne smije biti preniska jer tada dolazi do pojave aliasinga, tj do preklapanja periodičkih sekcija spektra otipkanog signala, što dovodi pojavljivanja nepostojećih komponenti u spektru signala, te više nije moguće vratiti signal u originalni oblik.

Da ne bi došlo do pojave aliasinga očito je da mora vrijediti:

što vodi na poznati Shannonov teorem koji tvrdi da će diskretni signal moći restaurirati bez pogreške ako je frekvencija otipkavanja minimalno dvostruko veća od maksimalne frekvencije u spektru analognog signala. Odnosno mora vrijediti:

Dakle, da bi Shannonov teorem bio zadovoljen spektar analognog signala treba ograničiti niskopropusnim filtrom. Klasični A/D pretvornici otipkavaju signal frekvencijom tek nešto većom od dvostruke interesantne frekvencije, što predstavlja velike zahtjeve na korišteni filtar u pogledu strmine boka i minimalnih faznih izobličenja. Očito je da, ukoliko je veća frekvencija otipkavanja, blaži su zahtjevi na analogni antialiasing-filtar jer je prijelazno područje šire.

Općenito postoje dvije vrste A/D pretvornika:

Nyquistovi A/D pretvornici
- Otipkavaju signal frekvencijom koja je najmanje dva puta veća od maksimalne interesantne frekvencije spektra. Zahtijevaju vrlo složene i skupe analogne antialiasing-filtre. Na višim frekvencijama otipkavanja preoblemi s filtrima postaju presloženi.
A/D pretvornici s pretipkavanjem (oversampling)
- Otipkavaju signal s višestruko većom frekvencijom od maksimalne interesantne frekvencije signala. Zahtijevi na analogni antialiasing-filtar su puno blaži, a čak u spektru postoji područje dozvoljenog aliasinga koje se može lako ukloniti decimacijskim digitalnim filtrima.